Oggi ci avventuriamo in un territorio da.
Vvero affascinante la matematica di frontiera, non quella che si
trova, diciamo, sui libri di testo, ma quella che nasce oggi
su Internet dalla passione di ricercatori indipendenti.
Abbiamo sottomano due lavori di un autore di nome Alberico
Lepore, che fa delle affermazioni piuttosto audaci
sui numeri primi e sulle potenze.
La nostra missione? Capire se ci troviamo di fronte
a un'intuizione geniale OA un'affascinante e vicolo cieco.
OK, pronti a sporcarci le mani con un po di matematica?
Prontissima guarda, è un'opportunità fantastica per
vedere la scienza proprio mentre si fa.
Questi documenti non sono articoli patinati, definitivi,
sono più come degli appunti di laboratorio aperti al mondo, ed
è questo che li rende così interessanti.
Perfetto. Allora partiamo dal primo
documento intitolato Crivello di Lepore 4 1.
Crivello, per chi magari non lo sapesse, è in pratica un metodo
per setacciare i numeri e tenersi solo quelli primi.
Un po come. Come un setaccio per la sabbia
che trattiene le pietre preziose.
Esatto, una trappola per numeri primi e quella proposta qui è
molto, molto particolare. Decisamente il quale di tutto è
un'equazione piuttosto intricata.
Non ci perderemo nei simboli, ma l'idea di fondo è questa,
l'autore ha costruito una specie di macchina matematica.
Se inserisci in questa macchina un numero primo di una certa
forma, specificamente 12 F +5, questa macchina produce un unico
risultato. Una singola coppia di numeri e.
L'aspetto geniale qui è che l'autore non inventa questa
macchina dal nulla. Nella sua dimostrazione, anche
se solo abbozzata, la collega concetti vecchi di secoli come
l'eterne, pitagoriche e soprattutto il teorema di fermat
sulla somma di due quadrati. Ok, rifressami la memoria, di
cosa si tratta? Allora fermate.
Scoprì nel 1600 che ogni numero primo della forma a quattro Z +1
si può scrivere in un modo unico come somma di due quadrati, per
esempio 13 che è quattro per 3+1, si può scrivere come 9+4,
cioè 3^2+2^2, e non ci sono altre combinazioni.
Quello che Lepore sembra fare è collegare la sua nuova complessa
equazione a questo pilastro della teoria dei numeri, è come
se avesse trovato un messaggio nascosto di fermata all'interno
di un problema moderno. Ci dice che se ha ragione, la
sua non è un'idea campata in aria, ma ha radici profonde.
Wow. Quindi se costruendo un
grattacielo moderno, ma le fondamenta sono quelle di un
tempio antico. Ma è qui che la faccenda si fa
davvero interessante. L'autore presenta quella che
chiama una congettura. Che in matematica è un po come
la mappa di un tesoro disegnata da un esploratore, sembra
promettente, indica dove scavare, ma nessuno sa con
certezza se il tesoro esista finché la comuni.
Un va lì e scava per davvero. E questa mappa del Tesoro dice
che se un numero di quella forma non è primo, la sua macchina
matematica si comporta in modo strano, o non produce nessun
risultato, o ne produce più di uno, oppure, ed è questo il
punto cruciale, ne produce uno solo.
Ma questo risultato ha qualcosa che non va.
C'è una condizione specifica sul massimo comun divisore, l'm C.
D esatto qu? Esto è il vero colpo di genio,
secondo me. La congettura dice che se anche
per caso un numero composto produce una soluzione unica,
quella soluzione porterà con sé la prova della sua colpevolezza.
I due numeri MN che formano la soluzione se usati in una
semplice espressione, cioè quattro N Plus uno e quattro M
Plus uno, non saranno coprimi tra loro, il loro massimo comun
divisore sarà diverso da uno. Aspetta un attimo a prima vista,
sembra una regola tirata fuori dal nulla, no?
C'è un'intuizione sul perché proprio questa proprietà dell'm
CD dovrebbe essere il test di primalità decisivo.
Sembra quasi 1 1 controllo di sicurezza aggiuntivo.
È un'analogia perfetta. E per estenderla, potremmo dire
che se l'unicità della soluzione è come avere una chiave con la
forma giusta per la toppa, il controllo dell MCD è come
controllare la firma incisa su quella chiave.
Non solo deve avere la forma giusta, ma deve anche avere un
sigillo di autenticità. Se quel sigillo manca, cioè se
il MCD non è uno, la chiave è un falso e la porta della primalità
non si apre. L'intuizione profonda che
andrebbe dimostrata è che la struttura dei fattori di un
numero composto inquini in qualche modo la soluzione Nm in
un modo prevedibile, lasciando questa traccia nel MCD.
Incredibile quindi non basta trovare la chiave, la chiave
stessa deve essere pulita. E per rendere tutto questo
concreto, il documento non si ferma alla teoria, descrive un
algoritmo, parla di creare array, di contare le occorrenze
e fornisce persino un link a un repository github.
Il codice questo è un punto fondamentale nel mondo della
ricerca moderna. Non dice solo fidatevi di me, ma
ecco gli strumenti provate voi stessi.
Anzi analizza anche la complessità computazionale.
Stimandola in no di Squillroot Max interval, che per un
crivello è molto buona, dimostra di aver pensato non solo
all'eleganza della teoria, ma anche alla sua efficacia
pratica. Quindi il primo paper è
un'affascinante tentativo di costruire una nuova e più astuta
trappola per i numeri primi. Ma non è l'unico puzzle su cui
Lepore si è rovellato, il secondo documento che abbiamo
analizza un problema quasi inverso.
Esatto, se il primo cercava di capire se un numero è
indivisibile, cioè primo, il secondo parte da un numero che
sappiamo già essere, beh, costruito come una potenza tipo
m uguale AN, ad esempio 81 che è tre elevato alla quattro e cerca
di risalire alla sua base, al suo mattone fondamentale, in
questo caso il tre. E il metodo che propone per
farlo? Quasi magico, si fa in tre
mosse. Immagina di avere il tuo numero.
Per prima cosa lo metti al quadrato.
Sembra un passaggio strano, ma è il primo ingrediente.
Un primo passo contro intuitivo, che è spesso il marchio di un
approccio originale. Poi si usa questo m al quadrato
in un'operazione di aritmetica modulare, una specie di calcolo
dell'orologio su scala enorme, e alla fine il colpo di scena si
combina il risultato di questo calcolo con il numero originario
mando. Usando proprio il nostro amico,
il massimo comun divisore e come per magia salta fuori la base a
che cercavamo. Il documento lo illustra
benissimo con l'esempio m uguale 9 che sappiamo essere 3^2.
Primo passo, 9^2 fa 81. Secondo passo, si esegue quel
calcolo modulare due può 81 mod 162.
Terzo passo, si calcola l'm CD tra il risultato ottenuto e il 9
originale e il risultato è proprio tre, la base.
Vederlo funzionare su un esempio semplice lo rende molto
tangibile. C'è un mappero, un avvertimento
importante, l'autore scrive che il metodo funziona sempre con
delle eccezioni per i numeri primi e che può funzionare o
meno se la base non è prima, e queste eccezioni hanno un nome e
con nome i primi di wifferich. E qui la storia si fa ancora più
profonda, nominare i primi di wiferich non è una debolezza, è
un indizio. OK, fermi tutti, devo ammettere
che qui mi perdo. Che cosa diavolo è un primo di
wifich? E perché dovrebbe interessarci?
Allora? Di spiegarlo in modo semplice,
pensa all'aritmetica modulare come all'aritmetica di un
orologio per quasi tutti i numeri primi IP.
Se fai un certo calcolo due P -1 e lo dividi per p, ottieni un
numero intero, ma se lo dividi per p al quadrato, p al quadrato
quasi sempre ti rimane un resto. I primi di wefer sono dei
ribelli incredibilmente rari, ad oggi ne conosciamo solo due.
1093 e 3111 per loro e solo per loro.
Quel calcolo, contro ogni probabilità, non lascia alcun
resto quando lo dividi per p al quadrato.
Quindi sono dei disadattati della matematica, numeri che non
seguono le regole comuni. Esattamente il fatto che
l'algoritmo di Lepore si blocchi proprio su questi disadattati
cosmici è un indizio fortissimo che il suo metodo non è casuale,
è connesso a strutture profonde e misteriose della teoria dei
numeri in matematica. Le eccezioni a una regola sono
spesso più illuminanti della regola stessa, diciamo.
Ci dicono dove si trovano i confini di una teoria?
L'autore stesso lo riconosce quando scrive che questo apre la
porta a ulteriori ricerche. Non è una dichiarazione di
fallimento, ma un invito a investigare più a fondo.
Questo mi porta a fare un passo indietro.
Abbiamo analizzato questi due documenti pieni di formule,
congetture e codice e poi alla fine ci sono i ringraziamenti.
E non sono professori universitari OA istituti di
ricerca. Ringrazio utenti di Facebook e
di forum con nomi come il Filibustero e Perigan Ibu.
Cosa ci dice questo del modo in cui la ricerca viene condotta
oggi? Ci mo?
Stra un modello di ricerca completamente diverso, questo è
il garage del ricercatore del ventunesimo secolo, un forum
online, un repositorio su github, una discussione su un
social network. L'autore non aspetta il timbro
di approvazione di una rivista accademica, presenta il suo
lavoro direttamente al pubblico, in uno Stato quasi embrionale e
dice, ecco la mia idea, cosa ne pensate?
Distruggetela migliorate la testatela?
Si percepisce un grande entusiasmo, un'urgenza di
condividere la scoperta ma anche l'onestà di dire, queste sono
per ora, affermazioni non verificate, non c'è la pretesa
di aver trovato una verità assoluta, no?
Proprio così e questo. Ci porta a una domanda
fondamentale sulla validazione nella scienza, come fa un'idea,
nata magari in una discussione notturna su un forum, a
diventare teoria accettata? Richiede un processo lungo e
rigoroso di verifica da parte della Comunità.
Questi documenti sono il primo passo di quel viaggio, sono
l'equivalente moderno della lettera che un matematico del
diciassettesimo secolo come Fermao Pascal avrebbe inviato un
collega per condividere una nuova scoperta.
Un invito aperto quindi a partecipare al processo
scientifico, non un proclama dall'alto di una cattedra
universitaria, ma un guardate cosa ho trovato, provateci anche
voi. È un approccio molto più
democratico. Democratico, sì, ma che pone
anche l'onere della prova e della verifica in modo più
distribuito. Chiunque legga questi lavori ha
la responsabilità di applicare un esame critico, di separare le
intuizioni brillanti da eventuali errori.
È un modello più vulnerabile, forse, ma anche incredibilmente
più dinamico. Quindi, Ricapitolando, abbiamo
visto due tentativi audaci di risolvere problemi matematici
secolari, non da università prestigiosa ma.
Catore indipendente che usa gli strumenti del nostro tempo.
Esatto, abbiamo visto la meccanica delle sue idee come la
geniale condizione sul MCD nel Crivello per i numeri primi e
abbiamo visto i loro limiti riconosciuti, come nel caso dei
primi di wifferich che ci ricordano che le imperfezioni e
le eccezioni in matematica non sono fallimenti ma inviti aperti
a partecipare alla scoperta. Ma rizzerete grande, forse non
solo. È solo nelle formule, ma nel
metodo stesso. La scienza oggi può davvero
nascere in una discussione su un forum ed essere testata su
github da chiunque nel mondo? E con questo lasciamo un ultimo
pensiero su cui riflettere. Il primo documento si intitola
Crivello di Lepore, quattro in un qualsiasi intervallo.
Quel quattro nel nome non sembra casuale, vero?
Suggerisce fortemente l'esistenza di un crivello 1 1
crivello due e un crivello tre. E questo ci invita a pensare al
percorso non visibile dietro una scoperta.
A tutti i tentativi, gli errori, le versioni scartate e le
rifiniture che hanno portato a questa formulazione.
Ci spinge a considerare non solo il risultato finale che
leggiamo, ma l'intero processo iterativo, spesso frustrante e
solitario della ricerca. Ogni idea è solo l'ultima tappa
di un lungo viaggio.